Question

【题目】设函数．

①若有两个零点，则实数的取值范围是 ___________;

②若，则满足 的的取值范围是 _________________．

Answer 1

【答案】

【解析】①若a=0，则，

由f（x）=0，可得x=0，x=﹣，符合题意；

若a＜0，x=0符合题意；

若x=﹣符合题意，则a＞﹣，即为﹣＜a＜0；

若a＞0，则x=0和x=﹣符合题意，可得a≤，

综上可得，a的范围是（﹣，]；

②若x＜a≤﹣2，则x﹣1＜a﹣1≤﹣3，

f（x）的导数为3x2﹣3＞0，

可得f（x）＜f（﹣2）=﹣2，f（x﹣1）＜﹣27+9=﹣18，

即有f（x）+f（x﹣1）＜﹣30，不符题意；

则x≥a，若x﹣1≥a，f（x）+f（x﹣1）＞﹣3，

即为x+x﹣1＞﹣3，解得x＞﹣1；

若a﹣1≤x﹣1＜a，f（x）+f（x﹣1）＞﹣3，

即为x+（x﹣1）3﹣3（x﹣1）＞﹣3，

化为x3﹣3x2+x+5＞0，

由于a≤﹣2，且a≤x＜a+1，

可得g（x）=x3﹣3x2+x+5的导数g′（x）=3x2﹣6x+1＞0，

即g（x）在[a，a+1）递增，g（a）取得最小值，且为a3﹣3a2+a+5，

且a3﹣3a2+a+5，

而在a≤﹣2时，a3﹣3a2+a+5递增，且为负值，不符题意．

综上可得a的范围是（﹣1，+∞）．

故填，（﹣1，+∞）．