Question

2．当x＞2时，不等式x+$\frac{1}{x-2}$≥a恒成立，则实数a的最大值是4．

Answer 1

分析 变形∴x-2）$+\frac{1}{x-2}$≥2，（仅当x=3时等号成立），即可得出y=x+$\frac{1}{x-2}$的最小值为4，只要a≤y_小即可．

解答 解：∵x＞2，x-2＞0，
∴（x-2）$+\frac{1}{x-2}$≥2，（仅当x=3时等号成立）
∵y=x+$\frac{1}{x-2}$的最小值为4，（仅当x=3时等号成立）
∴不等式x+$\frac{1}{x-2}$≥a恒成立，即a≤4，
a的最大值为4．
故答案为：4．

点评 本题考察了运一基本不等式求解函数最值，不等式恒成立时参数的范围问题，属于中档题．