Question

10．若函数y=-$\frac{4}{3}{x^3}+b{x^2}$-2x+5有三个单调区间，则实数b的取值范围为$（-∞，-2\sqrt{2}）∪（2\sqrt{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 根据函数y=-$\frac{4}{3}{x^3}+b{x^2}$-2x+5有三个单调区间，可知y′有正有负，而导函数是二次函数，导函数的图象与x轴有两个交点，△＞0，即可求得b的取值范围．

解答 解：∵函数y=-$\frac{4}{3}{x^3}+b{x^2}$-2x+5有三个单调区间，
∴y′=-4x²+2bx-2的图象与x轴有两个不同的交点，
∴△=4b²-32＞0
解得b∈$（-∞，-2\sqrt{2}）∪（2\sqrt{2}，+∞）$，
故答案为：$（{-∞，-2\sqrt{2}}）∪（{2\sqrt{2}，+∞}）$．

点评 考查利用导数研究函数的单调性，把函数有三个单调区间，转化为导函数的图象与x轴的交点个数问题，体现了转化的思想，属中档题．