Question

5．已知△ABC中，角A、B、C成等差数列，求证：$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{a+b+c}$．

Answer 1

分析 利用分析法的证明步骤，找出使等式成立的充分条件，即可证明等式成立．

解答 证明：要证 $\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{a+b+c}$   只需证：$\frac{a+b+c}{a+b}$+$\frac{a+b+c}{b+c}$=3，…（3分）
只需证：c（b+c）+a（a+b）=（a+b） （b+c），…（5分）
即证：c²+a²=ac+b²，…（7分）
因为△ABC中，角A、B、C成等差数列，所以B=60°，…（9分）
由余弦定理b²=c²+a²-2cacosB得   b²=c²+a²-ca
所以c²+a²=ac+b²，…（12分）
因此 $\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{a+b+c}$． …（13分）

点评 本题考查分析法的应用，等差数列以及余弦定理的应用，考查逻辑推理能力．