【题目】在五面体中,四边形
是正方形,
,
,
.
(1)求证:;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)根据题意先证得四边形为等腰梯形,再证得
,于是
.又可得到
平面
,于是
,根据线面垂直的判定定理可得
平面
,于是可得所证结论.(2)建立空间直角坐标系,求出直线
的方向向量和平面
的法向量,根据两向量的夹角的余弦值可得所求线面角的正弦值.
(1)证明:由已知,且
平面
,
平面
,
所以平面
.
又平面平面
,
故.
又,
所以四边形为等腰梯形.
因为,
所以,
所以,
所以.
因为,且
,
所以平面
.
所以.
又,
∴平面
,
又平面
,
所以.
(2)如图,以为原点,以
分别为
轴,建立空间直角坐标系
,
则,
∴,
设平面的法向量为
,
由,得
,
令,得
.
设直线与平面所成的角为
,
,
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
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【题目】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:就是其中之一(如图).给出下列三个结论:
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过;
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中,所有正确结论的序号是
A. ①B. ②C. ①②D. ①②③
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示:在五面体ABCDEF中,四边形EDCF是正方形,AD=DE=1,∠ADE=90°,∠ADC=∠DCB=120°.
(Ⅰ)求证:平面ABCD⊥平面EDCF;
(Ⅱ)求三棱锥A-BDF的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知在图1所示的梯形中,
,
于点
,且
.将梯形
沿
对折,使平面
平面
,如图2所示,连接
,取
的中点
.
(1)求证:平面平面
;
(2)在线段上是否存在点
,使得直线
平面
?若存在,试确定点
的位置,并给予证明;若不存在,请说明理由;
(3)设,求三棱锥
的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设椭圆的右顶点为
,上顶点为
.已知椭圆的离心率为
,
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设直线:
与椭圆交于
,
两点,且点
在第二象限.
与
延长线交于点
,若
的面积是
面积的3倍,求
的值.
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【题目】已知椭圆的离心率
,且经过点
.
求椭圆
的方程;
过点
且不与
轴重合的直线
与椭圆
交于不同的两点
,
,过右焦点
的直线
分别交椭圆
于点
,设
,
,求
的取值范围.
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