Question

12．设函数$f（x）=x+\frac{1}{x}+a$为定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）在区间（a+1，+∞）上的单调性，并用定义法证明．

Answer 1

分析 （1）利用$f（x）=x+\frac{1}{x}+a$为定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，f（-x）=-f（x），即可求实数a的值；
（2）利用函数单调性的定义进行证明．

解答 解：（1）∵$f（x）=x+\frac{1}{x}+a$为定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴$-x-\frac{1}{x}+a=-（x+\frac{1}{x}+a）$，∴a=0．
（2）函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．
证明：设1＜x₁＜x₂，
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}-{x_2}+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}={x_1}-{x_2}-\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=（{x_1}-{x_2}）\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{{x_1}{x_2}}}$．
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，$\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{{x_1}{x_2}}}＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的判断和证明，要求熟练掌握函数单调性的定义及证明过程．