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已知imn是正整数,且1<imn.
(1)证明:niAmiA;(2)证明:(1+m)n>(1+n)m
证明见解析
证明:(1)对于1<im,且A =m·…·(mi+1),

由于mn,对于整数k=1,2,…,i-1,有
所以
(2)由二项式定理有:
(1+m)n=1+Cm+Cm2+…+Cmn
(1+n)m=1+Cn+Cn2+…+Cnm
由(1)知miAniA (1<imn ,而C=
miCinniCim(1<mn
m0C=n0C=1,mC=nC=m·nm2Cn2C,…,
mmCnmCmm+1C>0,…,mnC>0,
∴1+Cm+Cm2+…+Cmn>1+Cn+C2mn2+…+Cnm
即(1+m)n>(1+n)m成立.
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