Question

【题目】已知函数，其中，为函数的导函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）求，令，求出，得出，对分类讨论求出，

的解，即可得出结论；

（2）分离参数转化为求，设

，通过求导及构造函数，得且满足，进而得到时，取得最小值，即可求出结论.

（1）

令，则，所以故

（ⅰ）当时，

当时，，所以在上单调递减

当时，，所以在上单调递增

（ⅱ）当时，令，则或

（a）若即时，

当或时，，

所以在和上单调递增

当时，，

所以在上单调递减

（b）若即时，，

所以在上单调递增

（c）若即时，

当或时，，

所以在和上单调递增

当时，，

所以在上单调递减

综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增

当时，在和上单调递增，

在上单调递减

当时，在上单调递增

当时，在和上单调递增，

在上单调递减

（2）解法一：参数分离法

由知在恒成立即

令，则

令，则，

所以在上单调递增

又，

所以在上存在唯一零点，且

所以当时，即；当时，

即

所以在上单调递减，在上单调递增，

又因为

思路一：即

因为，所以（*）

设，当时，，

所以在上单调递增

由（*）知，所以

所以，

则有即

所以实数的取值范围为

思路二：即，两边取对数，

得

即（*）

设，则在上单调递增

由（*）知，所以

所以，

则有即

所以实数的取值范围为．

下面提供一种利用最小值的定义求的最小值的方法：

先证：，

设，则，

所以当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以即，

（当且仅当时等号成立），

再证：

由得（用代换），

，

，

（当且仅当时等号成立）

最后证：方程有实根，

设，则在上单调递增，

又，，

所以在有唯一零点，

即方程有实根，

综上，则有即，

所以实数的取值范围为．

解法二：函数性质法

由知在恒成立，

设，则，

因为，

，所以在上单调递增，

又当时，；当时，；

所以在上存在唯一零点，即，（1）

所以当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

，

，

即，

思路一：即，

因为，所以，（*）

设，当时，，

所以在上单调递增，

由（*）知，

所以即，