【题目】已知函数(
为常数),曲线
在与
轴的交点A处的切线与
轴平行.
(1)求的值及函数
的单调区间;
(2)若存在不相等的实数使
成立,试比较
与
的大小.
【答案】(1)a=2,在区间(-∞,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+∞)上单调递增.(2)x1+x2<2ln 2
【解析】
(1)由导数的几何意义得到,求出a的值,再求函数
的单调区间.(2) 令g(x)=
(x)-
(2ln 2-x)=ex-
-4x+4ln 2(x≥ln 2),
利用导数得到函数g(x) 在(ln 2,+∞)上单调递增,即(x)>
(2ln 2-x),不妨设x1<ln 2<x2,所以
(x2)>
(2ln 2-x2),再证明x1+x2<2ln 2.
(1)由,
得.且f(x)与y轴交于A(0.0)
所以,所以a=2,
所以,
.
由>0,得x>ln 2.
所以函数在区间(-∞,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+∞)上单调递增.
(2)证明:设x>ln 2,所以2ln 2-x<ln 2,
(2ln 2-x)=e(2ln 2-x)-2(2ln 2-x)-1
=+2x-4ln 2-1.
令g(x)= (x)-
(2ln 2-x)=ex-
-4x+4ln 2(x≥ln 2),
所以g′(x)=ex+4e-x-4≥0,
当且仅当x=ln 2时,等号成立,
所以g(x)=(x)-
(2ln 2-x)在(ln 2,+∞)上单调递增.
又g(ln 2)=0,所以当x>ln 2时,g(x)=(x)-
(2ln 2-x)>g(ln 2)=0,
即(x)>
(2ln 2-x),不妨设x1<ln 2<x2,所以
(x2)>
(2ln 2-x2),
又因为(x1)=
(x2),所以
(x1)>
(2ln 2-x2),
由于x2>ln 2,所以2ln 2-x2<ln 2,
因为x1<ln 2,由(1)知函数y=(x)在区间(-∞,ln 2)上单调递减,
所以x1<2ln 2-x2,
即x1+x2<2ln 2.
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【题目】已知点,过点
作与
轴平行的直线
,点
为动点
在直线
上的投影,且满足
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)已知点为曲线
上的一点,且曲线
在点
处的切线为
,若
与直线
相交于点
,试探究在
轴上是否存在点
,使得以
为直径的圆恒过点
?若存在,求出点
的坐标,若不存在,说明理由.
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【题目】已知以点C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O和点A,与y轴交于点O和点B,其中O为原点.
(1)求证:△OAB的面积为定值;
(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若OM=ON,求圆C的方程.
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【题目】把某校名学生的一次考试成绩(单位:分)分成5组得到的频率分布直方图如图所示,其中落在
内的频数为180.
(1)请根据图中所给数据,求出本次考试成绩的中位数(保留一位小数);
(2)从这5组中按分层抽样的方法选取40名学生的成绩作为一个样本,在与
内的样本中,再随机抽取两名学生的成绩,求所抽取两名学生成绩的平均分不低于70分的概率.
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【题目】已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于
,抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合,则抛物线
上的动点
到直线
和
距离之和的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】设命题p:实数x满足x2﹣4ax+3a2<0(a>0),命题q:实数x满足x2﹣5x+6<0.
(1)若a=1,且p∧q为真命题,求实数x的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
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【题目】定义区间、
、
、
的长度均为
,已知不等式
的解集为
.
(1)求的长度;
(2)函数(
,
)的定义域与值域都是
(
),求区间
的最大长度;
(3)关于的不等式
的解集为
,若
的长度为6,求实数
的取值范围.
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