Question

已知函数f（x）=-x²+ax+b（a，b∈R）对任意实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立，若当x∈[-1，1]时f（x）＞0恒成立，则b的取值范围________．

Answer 1

b＞3
分析：由已知中对任意的实数x都有f （1+x）=f （1-x） 成立，结合函数的对称性，我们易得到函数的图象的对称轴为直线x=1，结合二次函数的性质我们可以构造一个关于a的方程，解方程即可求出实数 a的值；要使当x∈[-1，1]时f（x）＞0恒成立，则有f（-1）＞0，从而得解．
解答：由题意，∵f（1+x）=f（1-x），
∴y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴即a=2，
∵图象开口方向向下，
∴函数在[-1，1]上单调递增，
∴要使当x∈[-1，1]时f（x）＞0恒成立，则有f（-1）＞0，
∴b＞3，
故答案为：b＞3．
点评：本题的考点是函数恒成立问题，主要考查的知识点是二次函数的性质，其中根据二次函数的图象和性质构造出关于a的方程