Question

【题目】定义一个“希望结合”（）简称如下：为一个非空集合，它满足条件“若，则”。试问：在集合中，一共有多少个“希望子集合”？请说明理由。

Answer 1

【答案】

【解析】

下面用“”表示与的两倍关系.注意到

显然，是否在中不影响成为希望子集（因为这些数不能被整除，且每个数的两倍均大于），所以，这个数的归属方案有种.

在①中，与不能同时取，故有种方案.

同理，在②、③、④中，也各有种方案.

下面采用递推算法.

在⑤中，若取，则不能取，此时，可取亦可不取，有两种方案：若不取，则由①知，关于和，共有种方案（和的情况与①相同）.因此，在⑤中共有种方案.

同理，在⑥中共有种方案.

在⑦中，若取，则不能取，由①知关于和，有种方案；若不取，则由⑤知，关于有种方案.因此，在⑦中共有种方案.

在⑧中，若取，则不能取，由⑤知关于，有种方案；若不取，则由⑦知关于，有种方案.因此，在⑧中共有种方案.

再考虑到除去空集（即都不取），因此所求的的希望子集的个数为.