Question

【题目】已知甲、乙两个容器，甲容器容量为x，装满纯酒精，乙容器容量为z，其中装有体积为y的水（x，y＜z，单位：L）．现将甲容器中的液体倒入乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计．设经过n（n∈N*）次操作之后，乙容器中含有纯酒精an（单位：L），下列关于数，列{an}的说法正确的是（ ）
A.当x=y=a时，数列{an}有最大值
B.设bn=an+1﹣an（n∈N*），则数列{bn}为递减数列
C.对任意的n∈N* ， 始终有
D.对任意的n∈N* ， 都有

Answer 1

【答案】D
【解析】解：对于A，若x+y＞z，每次倾倒后甲容器都有剩余，故an＜ ，故A错误；

对于B，若x+y=z，则每次操作后乙容器所含酒精都为 ，故B错误；

对于C，若x=1，y=1，z=3，则a1= ， = ，故a1＞ ，故C错误；

对于D，当n→+∞时，甲乙两容器浓度趋于相等，当x+y≤z时，an= ，

当x+y＞z时，an＜ ，故D正确．

故选D．

【考点精析】关于本题考查的数列的通项公式，需要了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．