Question

设P在内单调递增，，则q是p的（ ）
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

Answer 1

【答案】分析：首先由f（x）在内单调递增，得f′（x）≥0恒成立；然后利用分离参数的方法，得到m≥恒成立；再利用换元法，令t=，得g（t）==-t³-4t²+3t；随后结合导数法求出g（t）的最大值，即得m的取值范围；最后判断出q是p的充分不必要条件．
解答：解：∵在内单调递增，
∴在内，f′（x）=+mx²-3x+4=≥0恒成立．
即mx³-3x²+4x+1≥0，亦即m≥恒成立．
令t=，则=-t³-4t²+3t，
设g（t）=-t³-4t²+3t，则g′（t）=-3t²-8t+3．
由g′（t）=-3t²-8t+3=0得t=-3或．
∵x∈∴t∈
∴在[，）内，g′（t）＞0；在（，6]内，g′（t）＜0．
∴[g（t）]_max=g（）=--+1=．
∴m≥即可．
又∵，∴q是p的充分不必要条件．
故选B．
点评：本题主要考查了导数法解决函数的单调性及最值，同时考查了换元法、分离参数法及充分必要条件的知识，是一道非常综合的题目．