Question

设M，N为抛物线C：y=x²上的两个动点，过M，N分别作抛物线C的切线l₁，l₂，与x轴分别交于A，B两点，且l₁∩l₂=P，若|AB|=1，
（1）若|AB|=1，求点P的轨迹方程
（2）当A，B所在直线满足什么条件时，P的轨迹为一条直线？（请千万不要证明你的结论）
（3）在满足（1）的条件下，求证：△MNP的面积为一个定值，并求出这个定值．

Answer 1

解：（1）设P（x，y），M（x₁，x₁²），N（x₂，x₂²），切线的斜率 k=2x．
∴l₁ 的方程为 y-x₁²=2x₁（x-x₁），即 y=2x₁x-x₁² ①，
同理，l₂ 的方程为 y=2x₂ x-x₂² ②，令 y=0 可求出 A（，0），B（，0）．
∵|AB|=1，所以，|x₁-x₂|=2，∴|x₁+x₂|²-4x₁x₂ =4，
由①，②，得 x=，y=x₁x₂，故点P（，x₁x₂）．
∴y=x²-1，
（2）当 A，B 所在直线过 C：y=x² 的焦点．
（3）设 MN：y=kx+b 又由 y=x² 得 x²-kx-b=0，所以，x₁+x₂=k，x₁x₂=-b，
∴P到MN的距离为 d==，MN=|x₁-x₂|，
∴S=MN•d=（|x₁+x₂|² -4x₁x₂|）•|x₁-x₂|=2，为定值．
分析：（1）设P（x，y），用点斜式求得 l₁ 的方程，同理求得l₂ 的方程，由此建立x，y 的方程．
（2）当 A，B 所在直线过 C：y=x² 的焦点时．
（3）求出P到MN的距离为 d，以及MN的长度，代入△MNP的面积 S=MN•d运算求值．
点评：本题考查求点的轨迹方程的方法，点到直线的距离公式，由①，②得到 x=，y=x₁x₂，是解题的难点．