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设M,N为抛物线C:y=x2上的两个动点,过M,N分别作抛物线C的切线l1,l2,与x轴分别交于A,B两点,且l1∩l2=P,AB=1,则
(Ⅰ)求点P的轨迹方程
(Ⅱ)求证:△MNP的面积为一个定值,并求出这个定值.
分析:(Ⅰ)设出P点的坐标,M和N的坐标,利用导数求出过M,N的切线方程,联立后解出P的坐标,同时求出A,B的坐标,然后由AB的距离等于1求出P的轨迹;
(Ⅱ)设出MN的方程,和抛物线联立后写出根与系数关系,把P到MN的距离用电M和N的坐标表示,由弦长公式写出|MN|,代入△MNP的面积公式后整理即可证明△MNP的面积为一个定值.
解答:解:(Ⅰ)设P(x,y),M(x1
x
2
1
),N(x2
x
2
2
)

则k=y'=2x,l1:y-
x
2
1
=2x1(x-x1)
,即y=2x1x-
x
2
1
…①
同理,y=2x2x-
x
2
2
…②
联立①,②,得
x=
x1+x2
2
y=x1x2
…③
又令①,②式中的y=0得A(
x1
2
,0),B(
x2
2
,0)

因为|AB|=1,所以得(x1-x2)2=4
(x1+x2)2-4x1x2=4,代入③式得
所求点P的轨迹方程为:y=x2-1;
(Ⅱ)设MN:y=kx+b,又由y=x2,得x2-kx-b=0
所以x1+x2=k,x1x2=-b
∴P到MN的距离为d=
|k
x1+x2
2
-x1x2+b|
1+k2

|MN|=
1+k2
|x1-x2|
        
∴S=
1
2
|MN|d=
1
4
|(x1+x2)2-4x1x2||x1-x2|=2

∴△MNP的面积为定值2
点评:本题考查了圆锥曲线的轨迹方程,考查了直线和圆锥曲线的关系,是综合题,考查了学生灵活处理和解决问题的能力,体现了整体运算思想方法,是难题.
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设M,N为抛物线C:y=x2上的两个动点,过M,N分别作抛物线C的切线l1,l2,与x轴分别交于A,B两点,且l1∩l2=P,若|AB|=1,
(1)若|AB|=1,求点P的轨迹方程
(2)当A,B所在直线满足什么条件时,P的轨迹为一条直线?(请千万不要证明你的结论)
(3)在满足(1)的条件下,求证:△MNP的面积为一个定值,并求出这个定值.

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(1)若|AB|=1,求点P的轨迹方程
(2)当A,B所在直线满足什么条件时,P的轨迹为一条直线?(请千万不要证明你的结论)
(3)在满足(1)的条件下,求证:△MNP的面积为一个定值,并求出这个定值.

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(1)若|AB|=1,求点P的轨迹方程
(2)当A,B所在直线满足什么条件时,P的轨迹为一条直线?(请千万不要证明你的结论)
(3)在满足(1)的条件下,求证:△MNP的面积为一个定值,并求出这个定值.

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(1)若|AB|=1,求点P的轨迹方程
(2)当A,B所在直线满足什么条件时,P的轨迹为一条直线?(请千万不要证明你的结论)
(3)在满足(1)的条件下,求证:△MNP的面积为一个定值,并求出这个定值.

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