Question

某篮球职业联赛的总决赛在甲队与乙队间角逐，采用五局三胜制，即若一队先胜三场，则此队获胜，比赛结束，因两队实力相当，每场比赛获胜的可能性相等，据以往资料统计，第一场比赛组织者可获门票收入30万元，以后每场比赛门票收入都比上一场增加10万元，
问：（1）组织者在此次总决赛中获得门票收入不少于180万元的概率是多少？
（2）用ξ表示组织者在此次总决赛中的门票收入，求ξ的数学期望？

Answer 1

解：（1）由题意知每场比赛的门票收入构成等差数列{a_n}，
其中a₁=30，d=10，
∴S_n=5n²+25n
令S_n≥180，即5n²+25n≥180，
解得n≥4或n≤-9（舍）
∴n=4或5
若n=4，则需打四场比赛，某队必须第四场胜，且前三场中胜两场，
若n=5，则需打五场比赛，某队必须第五场胜，且前四场中胜两场，
∴P=2+2=
即组织者在此次总决赛中获得门票收入不少于180万元的概率是．
（2）由题意知ξ表示组织者在此次总决赛中的门票收入，可能取值是120、180、250，
P（ξ=120）=，
P（ξ=180）=，
P（ξ=250）=，，
∴Eξ=120×+180×+250×=191.25
分析：（1）由题意知每场比赛的门票收入构成等差数列{a_n}，根据所给的条件写出数列的和，使得数列的和大于或等于180，解出n的值，分类讨论，得到组织者在此次总决赛中获得门票收入不少于180万元的概率．
（2）由题意知ξ表示组织者在此次总决赛中的门票收入，可能取值是120、180、250，当取值是120时，表示比赛要打三场，采用五局三胜制，即若一队先胜三场，根据实际意义得到结果．
点评：解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，一般出现在前三个题目上，应是必得分题．