Question

已知函数f（x）=-x²+ax-lnx-1
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）函数f（x）在（2，4）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=3代入求出其导函数，找到导数大于0，以及小于0对应的区间即可求出函数的单调区间（注意是在定义域内找）；
（Ⅱ）函数f（x）在（2，4）上是减函数，转化为f′(x)=-2x+a-

1

x

≤0，在x∈（2，4）上恒成立；即-2x+a-

1

x

≤0?2x+

1

x

≥a在x∈(2，4)上恒成立，再利用函数的单调性求出不等式左边的最小值即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=-2x+a-

1

x

a=3时，f′(x)=-2x+3-

1

x

=-

2x2-3x+1

x

；
2x2-3x+1＞0，解得x＞1或x＜

1

2

，
函数f（x）的定义域为（0，+∞），
在区间（0，

1

2

），（1，+∞）上f′（x）＜0．函数f（x）为减函数；
在区间（

1

2

，1）上f′（x）＞0．函数f（x）为增函数．
（Ⅱ）函数f（x）在（2，4）上是减函数，
则f′(x)=-2x+a-

1

x

≤0，在x∈（2，4）上恒成立．
∵-2x+a-

1

x

≤0?2x+

1

x

≥a在x∈(2，4)上恒成立．
易知函数g(x)=2x+

1

x

在(2，4)上为增函数．
∴g(x)＞2•2+

1

2

=

9

2

．
实数a的取值范围a∈(-∞，

9

2

]．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性．利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是．教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．