Question

2．若抛物线x²=ay（a＞0）的准线与圆（x-2）²+y²=4相交于A、B两点，且|AB|=2$\sqrt{3}$，则a的值是4．

Answer 1

分析 如图所示，抛物线x²=ay（a＞0）的准线方程为：y=-$\frac{a}{4}$．取AB的中点D，圆心为C，连接CD．可得|AD|=$\frac{1}{2}$|AB|=$\sqrt{3}$，|AC|=2，利用|CD|=$\sqrt{|AC{|}^{2}-|AD{|}^{2}}$=$\frac{a}{4}$，即可解出．

解答 解：如图所示，
抛物线x²=ay（a＞0）的准线方程为：y=-$\frac{a}{4}$．
取AB的中点D，圆心为C，连接CD．
则|AD|=$\frac{1}{2}$|AB|=$\sqrt{3}$，|AC|=2，
∴|CD|=$\sqrt{|AC{|}^{2}-|AD{|}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1，
∴$\frac{a}{4}$=1，
解得a=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、垂经定理、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．