Question

14．已知?x＞0，ax²≤e^x，则常数a的取值范围是a≤$\frac{{e}^{2}}{4}$．

Answer 1

分析 利用参数分离法，转化为求函数的最值问题，构造函数f（x），求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可．

解答 解：∵?x＞0，ax²≤e^x，
∴?x＞0，a≤$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
设f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，则f′（x）=$\frac{{e}^{x}•{x}^{2}-{e}^{x}•2x}{{x}^{4}}$=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x）}{{x}^{4}}$，
由f′（x）＞0得x＞2，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得0＜x＜2，此时函数单调递减，
即当x=2时函数f（x）有极小值同时也是最小值f（2）=$\frac{{e}^{2}}{4}$，
故a≤$\frac{{e}^{2}}{4}$，
故答案为：a≤$\frac{{e}^{2}}{4}$

点评 本题主要考查函数恒成立问题，利用参数分类法，结合导数研究函数的最值是解决本题的关键．