Question

19．已知集合A={x|x²+4x=0，x∈R}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0，a∈R，x∈R}，若A∪B=A，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．

解答 解：A={x|x²+4x=0，x∈R}={0，-4}，
若A∪B=A，则B⊆A，
方程x²+2（a+1）x+a²-1=0的判别式△=4（a+1）²-4（a²-1）=8a+8=8（a+1），
①若B=∅，即△=8（a+1）＜0．即a＜-1，满足条件．B⊆A．
②若B={0}或{-4}，则△=8（a+1）=0，即a=-1，
此时方程为x²=0，解得x=0，即此时B={0}成立
③若B={0，-4}，则△=8（a+1）＞0，即a＞-1，
则$\left\{\begin{array}{l}{0-4=-2（a+1）}\\{0×（-4）={a}^{2}-1=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{a=±1}\end{array}\right.$，解得a=1．
综上a≤-1或a=1．

点评 本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的转化，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系是解决本题的关键．