Question

9．已知函数f（x）=Asinωx+Bcosωx（其中A，B，ω是实常数，且ω＞0，a=0）的最小正周期为2，且当x=$\frac{1}{3}$时，f（x）取得最大值2，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 先利用两角和的正弦公式将函数化为y=Asin（ω+φ）的形式，再利用周期公式得ω的值，最后将点（$\frac{1}{3}$，2）代入原函数即可解得A、B的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=Asinωx+Bcosωx（其中A、B、ω是非零常数，且ω＞0）
∴f（x）=$\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}$sin（ωx+φ），（tanφ=$\frac{B}{A}$），
∵f（x）的最小正周期为2，
∴$\frac{2π}{ω}$=2，即ω=π，
又当x=$\frac{1}{3}$时，f（x）取得最大值2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{A}^{2}+{B}^{2}=4}\\{Asin\frac{π}{3}+Bcos\frac{π}{3}=2}\end{array}\right.$，
而A、B非零，由此解得：A=$\sqrt{3}$，B=1
∴f（x）=$\sqrt{3}$sinπx+cosπx=2sin（$πx+\frac{π}{6}$）．

点评 本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．