Question

7．若不等式x+2$\sqrt{xy}$≤a（x+y）对任意的实数x，y∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 不等式x+2$\sqrt{xy}$≤a（x+y）分离参数，再利用换元法，构造函数，利用导数法确定函数的最大值，从而可求实数a的范围．

解答 解：不等式x+2$\sqrt{xy}$≤a（x+y）对任意的实数x，y∈（0，+∞）恒成立，
即为a≥$\frac{x+2\sqrt{xy}}{x+y}$，
∴a≥$\frac{1+2\sqrt{\frac{y}{x}}}{1+\frac{y}{x}}$，
令t=$\sqrt{\frac{y}{x}}$，（t＞0），则$\frac{y}{x}$=t²，
∴a≥$\frac{1+2t}{1+{t}^{2}}$，
令u=$\frac{1+2t}{1+{t}^{2}}$，
∴u′=$\frac{2（1-t-{t}^{2}）}{（1+{t}^{2}）^{2}}$，
令u′=0，∴t=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（负值舍去），
∴函数在（0，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）上单调增，在（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，+∞）上单调减，
∴t=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$时，函数u=$\frac{1+2t}{1+{t}^{2}}$取得最大值为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴a≥$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

点评 本题考查恒成立问题，涉及到两个变量，一般都是把它变成一个变量去考虑的，属于中档题．