Question

5．已知函数f（x）=a（x-1）-lnx（a为实数），g（x）=x-1，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}g（x），f（x）＜g（x）\\ f（x），f（x）≥g（x）\end{array}$．
（1）当a=1时，求函数f（x）=a（x-1）-lnx在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若h（x）=f（x），求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率，切点的坐标，即可求出切线方程；
（2）求导数，利用导数的正负，讨论函数f（x）的单调性；
（3）G（x）=f（x）-g（x）=（a-1）（x-1）-lnx，若h（x）=f（x），x＞0，G（x）≥0成立x＞0，G（x）≥0成立，即可求实数a的值．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x-1-lnx，f（1）=0，f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，∴f′（1）=0，
∴函数f（x）=a（x-1）-lnx在点（1，f（1））处的切线方程为y=0；
（2）f′（x）=a-$\frac{1}{x}$（x＞0），
a≤0，f′（x）＜0，函数在（0，+∞）上单调递减；
a＞0，由f′（x）＞0，解得x＞$\frac{1}{a}$，函数的单调递增区间是（$\frac{1}{a}$，+∞），
f′（x）＜0，0＜x＜$\frac{1}{a}$，函数的单调递减区间是（0，$\frac{1}{a}$）；
（3）令G（x）=f（x）-g（x）=（a-1）（x-1）-lnx，定义域（0，+∞），G（1）=0．
∵h（x）=f（x），∴x＞0，G（x）≥0成立；
a≤1，G′（x）=a-1-$\frac{1}{x}$＜0，G（x）在（0，+∞）单调递减，
∴G（2）＜G（1）=0，此时题设不成立；
a＞1时，G（x）在（0，$\frac{1}{a-1}$）上单调递减，（$\frac{1}{a-1}，+∞$）上单调递增，
∴G（x）_min=2-a+ln（a-1），
∴2-a+ln（a-1）≥0恒成立，
令t=a-1，t＞0，则1-t+lnt≥0恒成立，
令H（t）=1-t+lnt（t＞0），则H（1）=0，H′（t）=$\frac{1-t}{t}$，
∴H（t）在（0，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减，
∴H（t）_max=H（1）=0，
∴H（t）≤0（t=1时取等号），
t＞0时，1-t+lnt=0的解为t=1，即a=2．

点评 本题考查导数知识的运用，考查求切线方程和函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查函数的最值，正确求导，合理分类是关键．