Question

15．求下列函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大、最小值的x的集合：在什么区间上是增函数？在什么区间上是减函数？
（1）y=$\sqrt{2}$+$\frac{sinx}{π}$，x∈R   （2）y=3-2cosx，x∈R （3）函数y=sin（-3x+$\frac{π}{4}$）  （4）函数y=3cos（2x-$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 根据三角函数单调性的性质进行求解即可．

解答 解：（1）y=$\sqrt{2}$+$\frac{sinx}{π}$，x∈R  
当sinx=1，即x=2kπ+$\frac{π}{2}$时，函数取得最大值，为y=$\sqrt{2}$+$\frac{1}{π}$，此时x的集合为{x|x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}
当sinx=-1，即x=2kπ-$\frac{π}{2}$时，函数取得最小值，为y=$\sqrt{2}$-$\frac{1}{π}$，此时x的集合为{x|x=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z}
函数的单调递增区间为[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z，单调递减区间为[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]，k∈Z，
（2）y=3-2cosx，x∈R
当cosx=-1，即x=2kπ+π时，函数取得最大值，为y=3+2=5，此时x的集合为{x|x=2kπ+π，k∈Z}
当cosx=1，即x=2kπ时，函数取得最小值，为y=3-2=1，此时x的集合为{x|x=2kπ，k∈Z}
函数的单调递增区间为[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z，单调递减区间为[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]，k∈Z，
（3）函数y=sin（-3x+$\frac{π}{4}$）=-sin（3x-$\frac{π}{4}$） 
当sin（3x-$\frac{π}{4}$）=1，即3x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$时，解得x=$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{4}$，函数取得最小值，为y=-1，此时x的集合为{x|x=$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z}
当sin（3x-$\frac{π}{4}$）=-1，即3x-$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$时，解得x=$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{π}{12}$，函数取得最大值，为y=1，此时x的集合为{x|x=$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{π}{12}$，k∈Z}
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤3x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z得$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{4}$，即函数的单调递减区间为[$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{π}{12}$，$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z，
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤3x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z得$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{7π}{12}$，即函数的单调递增区间为[$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{4}$，$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．
 （4）函数y=3cos（2x-$\frac{π}{3}$）
当cos（2x-$\frac{π}{3}$）=1，即2x-$\frac{π}{3}$=2kπ时，解得x=kπ+$\frac{π}{6}$，函数取得最大值，为y=3，此时x的集合为{x|x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}
当cos（2x-$\frac{π}{3}$）=-1，即2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+π时，解得x=kπ+$\frac{2π}{3}$，函数取得最小值，为y=-3，此时x的集合为{x|x=kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z}
由2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，故函数f（x）的单调减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）．
由2kπ-π≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ（k∈Z），得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）．

点评 本题主要考查三角函数的最值，单调性以及单调区间的求解，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．