Question

设定义在R上的函数f（x）=

1 |x-1| ，x≠1 1，x=1.

若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有3个不同的实数解x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃=

3

．

Answer 1

分析：由函数的解析式易知f（x）的图象关于直线x=1对称．从而得出f²（x）+bf（x）+c=0必有一根使f（x）=1，不妨设为x₁，而x₂，x₃关于直线x=1对称，于是求得x₁+x₂+x₃的值．

解答：解：易知f（x）的图象关于直线x=1对称
对于方程f²（x）+bf（x）+c=0，是一个关于f（x）的一元二次方程，若此一元二次方程仅有一根，则必有
f（x）=1，此时x₁，x₂，x₃三个数中有一个是1，另两个关于x=1对称，此时有 x₁+x₂+x₃=3
若关于f（x）的一元二次方程f²（x）+bf（x）+c=0有两个根，则必有f（x）=1与f（x）=m≠1
此时f（x）=1的根为1，f（x）=m≠1有两根，且此两根关于x=1对称，此时有x₁+x₂+x₃=3
综上知x₁+x₂+x₃=3
故答案为3．

点评：数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．