Question

4．设椭圆短轴的一点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆长轴端点的最短距离为$\sqrt{3}$，则焦点在y轴上的椭圆方程是（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$或$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1

Answer 1

分析 由焦点在y轴上设椭圆方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），由题意可知a=2c，且a-c=$\sqrt{3}$，即可求得a和c，根据b²=a²-c²，求得椭圆方程．

解答 解：设椭圆方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
有题意可知：a=2c，且a-c=$\sqrt{3}$，
解的：a=2$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{3}$，
有b²=a²-c²=12-3=9，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，
故选：D．

点评 本题考查椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，考查正三角形的性质，属于基础题．