Question

求适合下列条件的双曲线的标准方程
（Ⅰ）求以椭圆

x2

13

+

y2

3

=1的焦点为焦点，以直线y=±

1

2

x为渐近线
（Ⅱ）双曲线的两条对称轴是坐标轴，实轴长是虚轴长的一半，且过点（3，2）

Answer 1

分析：（I）由椭圆

x2

13

+

y2

3

=1可得c=

13-3

=

10

，得到焦点(±

10

，0)．设双曲线的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），可得a2+b2=(

10

)2=10．又

b

a

=

1

2

．联立解得即可．
（II）由题意可知：焦点在x轴上．设双曲线的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），由于实轴长是虚轴长的一半，且过点（3，2）．可得

b=2a 9 a2 - 4 b2 =1

，解得即可．

解答：解：（I）由椭圆

x2

13

+

y2

3

=1可得c=

13-3

=

10

，得到焦点(±

10

，0)．
设双曲线的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），∴a2+b2=(

10

)2=10．
又

b

a

=

1

2

．联立

a2+b2=10 a=2b

，解得

a2=8 b2=2

．
因此所求的双曲线的方程为：

x2

8

-

y2

2

=1．
（II）由题意可知：焦点在x轴上，
设双曲线的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
∵实轴长是虚轴长的一半，且过点（3，2）．
∴

b=2a 9 a2 - 4 b2 =1

，解得

a2=8 b2=32

，
∴双曲线的标准方程为

x2

8

-

y2

32

=1．

点评：本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．