Question

分别求适合下列条件圆锥曲线的标准方程：
（1）焦点为F₁（0，-1）、F₂（0，1）且过点M(

3

2

，1)椭圆；
（2）与双曲线x2-

y2

2

=1有相同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线．

Answer 1

分析：（1）首先设出椭圆的标准方程

y2

a2

+

x2

b2

=1，然后根据题意，求出a、b满足的2个关系式，解方程即可．
（2）设所求的双曲线方程为：x2-

y2

2

=λ，（λ≠0）把点（2，2）代入方程可得λ，从而得到所求的双曲线的方程．

解答：解：（1）设椭圆E的方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵c=1，
∴a²-b²=1①，
∵点(

3

2

，1)在椭圆E上，
∴

1

a2

+

9

4b2

=1②，
由①、②得：a²=4，b²=3，
∴椭圆E的方程为：

y2

4

+

x2

3

=1．
（2）：由题意可设所求的双曲线方程为：x2-

y2

2

=λ，（λ≠0）
把点（2，2）代入方程可得λ=2，
故所求的双曲线的方程是x2-

y2

2

=2，
化为标准方程即得

x2

2

-

y2

4

=1．

点评：本题应用了求椭圆标准方程的常规做法：待定系数法，熟练掌握椭圆的几何性质是解题的关键，同时考查考查双曲线的标准方程，设出双曲线的方程是x2-

y2

2

=λ，（λ≠0）是解决问题的关键，考查学生的基本运算能力与运算技巧．