Question

分别求适合下列条件的曲线的标准方程：
（1）焦点 为F₁（0，-1）、F₂（0，1）且过点M（

3

2

，1）椭圆；
（2）求经过点A（0，4），B（4，6）且圆心在直线x-2y-2=0上的圆的方程；
（3）与双曲线x²-

y2

2

=1有相同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线．

Answer 1

分析：（1）由已知条件设椭圆的标准方程为：

x2

a2-1

+

y2

a2

=1，把点M（

3

2

，1）代入能求出椭圆方程．
（2）设圆心坐标为（a，b），由题意列出方程组求出圆心坐标和圆半径，由此能求出圆的方程．
（3）设与双曲线x²-

y2

2

=1有相同的渐近线的双曲线方程为x2-

y2

2

=λ(λ≠0)，把点（2，2）代入能求出双曲线方程．

解答：解：（1）∵椭圆焦点为F₁（0，-1）、F₂（0，1），
∴设椭圆的标准方程为：

x2

a2-1

+

y2

a2

=1，
∵椭圆过点M（

3

2

，1），
∴

9 4

a2-1

+

1

a2

=1，
解得a²=4，或a²=

1

4

，
∴椭圆方程为：

x2

3

+

y2

4

=1．
（2）设圆心坐标为（a，b），由题意知：

a2+(b-4)2 = (a-4)2+(b-6)2 a-2b-2=0

，
解得a=4，b=1，
∴圆心为（4，1），
圆半径r=

(4-0)2+(1-4)2

=5，
∴圆的方程为（x-4）²+（y-1）²=25．
（3）设与双曲线x²-

y2

2

=1有相同的渐近线的双曲线方程为：
x2-

y2

2

=λ(λ≠0)，
把点（2，2）代入，得λ=4-

4

2

=2，
∴双曲线方程为

x2

2

-

y2

4

=1．

点评：本题考查椭圆方程、圆的方程、双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意代入法的合理运用．