Question

若非零实数m、n满足2m+n=0，且在二项式（ax^m+bxⁿ）¹²（a＞0，b＞0）的展开式中当且仅当常数项是系数最大的项，
（1）求常数项是第几项；
（2）求

a

b

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出通项T_r+1=C₁₂^ra^12-r b^r x^{m（12-r）+nr}，由

m(12-r)+nr=0 2m+n=0，m≠0，n≠0

，求出r=4，得常数项是第5项．
（2）由只有常数项为最大项且a＞0，b＞0，可得

C 4 12 a8b4＞ C 5 12 a7b5 C 4 12 a8b4＞ C 3 12 a9b3

，由此求得

a

b

的取值范围．

解答：解：（1）设T_r+1=C₁₂^r（ax^m）^12-r（bxⁿ）^r为=C₁₂^ra^12-r b^r x^{m（12-r）+nr}为常数项，------（1分）
则可由

m(12-r)+nr=0 2m+n=0，m≠0，n≠0

，--（3分）
解得 r=4，------（5分） 所以常数项是第5项…（7分）
（2）由只有常数项为最大项且a＞0，b＞0，可得

C 4 12 a8b4＞ C 5 12 a7b5 C 4 12 a8b4＞ C 3 12 a9b3

，-----（10分）
即

12！•a8•b4

4!•8!

＞

12!•a7•b5

5!•7!

，且

12！•a8•b4

4!•8!

＞

12!•a9•b3

3!•9!

．
即5a＞8b，且 9b＞4a，再由a＞0，b＞0 解得

a

b

＞

5

8

 且

a

b

＜

9

4

，
解得

9

4

＞

a

b

＞

8

5

．-----（12分）

点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．