【题目】已知函数.
(Ⅰ)若方程只有一解,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)设函数,若对任意正实数
,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)利用导数研究函数的单调性,可得函数
在
上单调递减,函数
在区间
上单调递增,根据单调性可得
时,
,
时,
,且
,结合函数图象可得结果;(Ⅱ)由(Ⅰ)知
,对任意正实数
,
恒成立,等价于
,先排除
,当
时,利用导数可得
,所以
.
试题解析:(Ⅰ)由已知.
当时,
,函数
在
上单调递减;
当时,
,函数
在区间
上单调递增.
故.
又当时,
.
且
(对足够小的
).
又当时,
.
即所求的取值范围是
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知.
所以对任意正实数,
恒成立,
等价于.
∵.
(1)当时,
,与
式矛盾,故不合题意.
(2)当时,
当时,
,当
时,
,
所以在
上单调递增,在区间
上单调递减.
,所以
.
综合(1)(2)知实数的取值范围为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线上点
处的切线方程为
.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)设和
为抛物线上的两个动点,其中
且
,线段
的垂直平分线
与
轴交于点
,求
面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知双曲线的渐近线方程是
,右焦点
,则双曲线
的方程为_________,又若点
,
是双曲线
的左支上一点,则
周长的最小值为__________.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考查项目,分别记作①,②,③,④,⑤.
(1)某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计(如表所示),并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测(只测不合格的项目),求补测项目种类不超过3()项的概率.
(2)“科二”考试中,学员需缴纳150元的报名费,并进行1轮测试(按①,②,③,④,⑤的顺序进行);如果某项目不合格,可免费再进行1轮补测;若第1轮补测中仍有不合格的项目,可选择“是否补考”;若补考则需缴纳300元补考费,并获得最多2轮补测机会,否则考试结束;每1轮补测都按①,②,③,④,⑤的顺序进行,学员在任何1轮测试或补测中5个项目均合格,方可通过“科二”考试,每人最多只能补考1次,某学院每轮测试或补考通过①,②,③,④,⑤各项测试的概率依次为,且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考.
①求该学员能通过“科二”考试的概率;
②求该学员缴纳的考试费用的数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点
的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米,其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为
米,圆心角为
(弧度).
(1)求关于
的函数关系式;
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为,求
关于
的函数关系式,并求出
为何值时,
取得最大值?
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