Question

椭圆与直线y=x+1交于P，Q两点 且，a²+b²=2a²b²．求椭圆方程．

Answer 1

解：把直线y=x+1代入椭圆，
得b²x²+a²（x+1）²=a²b²，
∴（a²+b²）x²+2a²x+a²=a²b²，
∵a²+b²=2a²b²，
∴2a²b²x²+2a²x+a²=a²b²，
∴2b²x²+2x+1-b²=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则，k=1，
∴|PQ|=
=
=，
解得b²=2或．
当b²=2时，由a²+b²=2a²b²，解得a²=（舍）
当时，由a²+b²=2a²b²，解得a²=2．
∴椭圆方程为：．
分析：把直线y=x+1代入椭圆，得b²x²+a²（x+1）²=a²b²，所以（a²+b²）x²+2a²x+a²=a²b²，由a²+b²=2a²b²，得2b²x²+2x+1-b²=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则，k=1，故|PQ|==，由此能求出椭圆方程．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．