Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)与直线y=x+1交于P，Q两点 且|PQ|=

10

2

，a²+b²=2a²b²．求椭圆方程．

Answer 1

分析：把直线y=x+1代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，得b²x²+a²（x+1）²=a²b²，所以（a²+b²）x²+2a²x+a²=a²b²，由a²+b²=2a²b²，得2b²x²+2x+1-b²=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=-

2

2b2

，x1x2=

1-b2

2b2

，k=1，故|PQ|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2-4b2+4b4

b2

=

10

2

，由此能求出椭圆方程．

解答：解：把直线y=x+1代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
得b²x²+a²（x+1）²=a²b²，
∴（a²+b²）x²+2a²x+a²=a²b²，
∵a²+b²=2a²b²，
∴2a²b²x²+2a²x+a²=a²b²，
∴2b²x²+2x+1-b²=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x1+x2=-

2

2b2

，x1x2=

1-b2

2b2

，k=1，
∴|PQ|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2( 1 b4 - 2-2b2 b2 )

=

2-4b2+4b4

b2

=

10

2

，
解得b²=2或b2=

2

3

．
当b²=2时，由a²+b²=2a²b²，解得a²=

2

3

（舍）
当b2=

2

3

时，由a²+b²=2a²b²，解得a²=2．
∴椭圆方程为：

x2

2

+

3

2

y2=1．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．