Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率e=

2

2

，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F₁的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|

F2M

+

F2N

|=

2 26

3

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由已知得

c a = 2 2 a2 c =2

，解得a=

2

，c=1，由此能得到所求椭圆的方程．
（2）由题意知F₁（-1，0）、F₂（1，0），①若直线l的斜率不存在，
则直线l的方程为x=-1，由

x=-1 x2 2 +y2=1

得y=±

2

2

设M(-1，

2

2

)、N(-1，-

2

2

)，|

F2M

+

F2N

|=|(-2，

2

2

)+(-2，-

2

2

)|=|(-4，0)|=4，这与已知相矛盾．
②若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），联立

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

，消元得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．再由根与系数的关系进行求解．

解答：解：（1）由已知得

c a = 2 2 a2 c =2

，
解得a=

2

，c=1
∴b=

a2-c2

=1∴所求椭圆的方程为

x2

2

+y2=1
（ 2）由（1）得F₁（-1，0）、F₂（1，0）
①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1，
由

x=-1 x2 2 +y2=1

得y=±

2

2

设M(-1，

2

2

)、N(-1，-

2

2

)，
∴|

F2M

+

F2N

|=|(-2，

2

2

)+(-2，-

2

2

)|=|(-4，0)|=4，这与已知相矛盾．
②若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
联立

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

，消元得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
∴x1+x2=

-4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

，
∴y1+y2=k(x1+x2+2)=

2k

1+2k2

．
又∵

F2M

=(x1-1，y1)，

F2N

=(x2-1，y2)
∴

F2M

+

F2N

=(x1+x2-2，y1+y2)
∴|

F2M

+

F2N

|=

(x1+x2-2)2+(y1+y2)2

=

( 8k2+2 1+2k2 )2+( 2k 1+2k2 )2

=

2 26

3

化简得40k⁴-23k²-17=0
解得k²=1或k²=-

17

40

（舍去）
∴k=±1
∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1

点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，合理解答．