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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率是
3
2
,且经过点M(2,1),直线y=
1
2
x+m(m<0)
与椭圆相交于A,B两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)当m=-1时,求△MAB的面积;
(3)求△MAB的内心的横坐标.
分析:(1)设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的半焦距为c,利用椭圆的离心率是
3
2
,可得a=2b,根据椭圆经过点M(2,1),可得
4
a2
+
1
b2
=1
,从而有a2=8,b2=2,故可求椭圆的方程为
x2
8
+
y2
2
=1

(2)将直线y=
1
2
x+m(m<0)
代入椭圆方程
x2
8
+
y2
2
=1
得x2+2mx+2m2-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则当m=-1时,x1+x2=2,x1x2=-2,所以AB的长为
15
,利用点到直线的距离公式可求得点M(2,1)到直线x-2y-2=0 的距离为
2
5
,从而可求△MAB的面积.
(3)设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,△MAB的内心是I,则k1+k2=
y1-1
x1-2
+
y2-1
x2-2
=0
,从而可知∠AMB的平分线MI垂直于x轴,故可△MAB的内心的横坐标.
解答:解:(1)设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的半焦距为c
∵椭圆的离心率是
3
2
,∴
c2
a2
=1-
b2
a2
=
3
4
,∴a=2b
又椭圆经过点M(2,1),∴
4
a2
+
1
b2
=1
,解得a2=8,b2=2
∴椭圆的方程为
x2
8
+
y2
2
=1

(2)将直线y=
1
2
x+m(m<0)
代入椭圆方程
x2
8
+
y2
2
=1
得x2+2mx+2m2-4=0
令△=4m2-4(2m2-4)>0,∴-2<m<0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4
当m=-1时,x1+x2=2,x1x2=-2,∴AB的长为
15

点M(2,1)到直线x-2y-2=0 的距离为
2
5

∴△MAB的面积S=
1
2
×
15
×
2
5
=
3

(3)设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,△MAB的内心是I,则k1+k2=
y1-1
x1-2
+
y2-1
x2-2
=0

∵m<0,∴∠AMB的平分线MI垂直于x轴
∴△MAB的内心的横坐标是2.
点评:本题以椭圆的几何性质为载体,考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,关键是直线与椭圆方程的联立,合理运用韦达定理.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦点分别为F1,F2,左顶点为A,若|F1F2|=2,椭圆的离心率为e=
1
2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程,
(Ⅱ)若P是椭圆上的任意一点,求
PF1
PA
的取值范围
(III)直线l:y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M,N(均不是长轴的顶点),AH⊥MN垂足为H且
AH
2
=
MH
HN
,求证:直线l恒过定点.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦点F(-c,0)是长轴的一个四等分点,点A、B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点,记直线AD、BC的斜率分别为k1,k2
(1)当点D到两焦点的距离之和为4,直线l⊥x轴时,求k1:k2的值;
(2)求k1:k2的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•威海二模)已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为e=
6
3
,过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点,且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设点M(0,2),直线l:y=1,过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点,若N为AB的中点,D为N在直线l上的射影,AB的中垂线与y轴交于点P.求证:
ND
MP
AB
2
为定值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦点为F,过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点,若|MN|=3,且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根,求椭圆方程.

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