Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁，F₂，左顶点为A，若|F₁F₂|=2，椭圆的离心率为e=

1

2

（Ⅰ）求椭圆的标准方程，
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求

PF1

•

PA

的取值范围
（III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且

AH

2=

MH

•

HN

，求证：直线l恒过定点．

Answer 1

分析：（ I）由题意可得到：c=1，a=2，b=

3

从而写出椭圆的标准方程；
（II）设P（x₀，y₀）利用向量的数量积即可坟得

PF1

•

PA

，再结合椭圆方程得-2≤x≤2，利用二次函数的图象与性质即可求得

PF1

•

PA

的取值范围；
（III）先将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的数量积公式即可求得m值，从而解决问题．

解答：解：（ I）由题意得c=1，a=2，b=

3

x2

4

+

y2

3

=1（4分）
（II）设P（x₀，y₀），A（-2，0），F₁（-1，0）

PF1

•

PA

=(-1-x0)(-2-x0)+

y

2 0

=

1

4

x2+3x+5
由椭圆方程得-2≤x≤2，二次函数开口向上，对称轴x=-6＜-2
当x=-2时，取最小值0，
当x=2时，取最大值12

PF1

•

PA

的取值范围是[0，12]（9分）
（III）

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0
由△＞0得4k²+3＞m²※
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

-8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

，

AM

•

AN

=(

AH

+

HM

)•(

AH

+

HN

)=

AH

2+

AH

•

HN

+

HM

•

AH

+

HM

•

HN

=0
∴（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0
即（1+k²）x₁x₂+（2+km）（x₁+x₂）+4+m²=0
∴4k²-16km+7m²=0k=

1

2

m或k=

7

2

m均适合※（12分）
当k=

1

2

m时，直线过A，舍去，故k=

7

2

m
当k=

7

2

m时，直线y=kx+

2

7

k过定点(-

2

7

，0)（13分）

点评：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力．本题为中档题，需要熟练运用设而不求韦达定理．