Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k₁，k₂
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k₁：k₂的值；
（2）求k₁：k₂的值．

Answer 1

分析：（1）由题意椭圆的离心率e=

c

a

=

1

2

，2a=4，由此知椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1，直线l：x=-1，A（-2，0），B（2，0），
故C（-1，

3

2

)，D(-1，-

3

2

)，D（-1，-

3

2

）或C（-1，-

3

2

），D（-1，

3

2

），由此能得到k₁：k₂=3．
（2）因为e=

1

2

，所以a=2c，b=

3

c，椭圆方程为3x²+4y²=12c²，A（-2c，0），B（2c，0），直线l：x=my-c，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由

3x2+4y2=12c2 x=my-c

，消x得，（4+3m²）y²-6mxy-9c²=0，再由韦达定理进行求解．

解答：解：（1）由题意椭圆的离心率e=

c

a

=

1

2

，2a=4，所以a=2，c=1，b=

3

，
故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1，…（3分），
则直线l：x=-1，A（-2，0），B（2，0），
故C（-1，

3

2

)，D(-1，-

3

2

)，D（-1，-

3

2

）或C（-1，-

3

2

），D（-1，

3

2

），
当点C在x轴上方时，k1=

- 3 2

-1+2

 =-

3

2

，k2=

3 2

-1-2

=-

1

2

，
所以k₁：k₂=3，
当点C在x轴下方时，同理可求得k₁：k₂=3，
综上，k₁：k₂=3为所求．…（6分）
（2）解：因为e=

1

2

，所以a=2c，b=

3

c，
椭圆方程为3x²+4y²=12c²，A（-2c，0），B（2c，0），直线l：x=my-c，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由

3x2+4y2=12c2 x=my-c

，消x得，（4+3m²）y²-6mxy-9c²=0，
所以

y1+y2= 6mc- △ 2(4+3m2) + 6mc+ △ 2(4+3m 2) = 6mc 4+3m2 y1y2= 6mc- △ 2(4+3m2) • 6mc+ △ 2(4+3m2) =- 9c2 4+3m2

…（8分）
故

x1+x2=m(y1+y2)-2c=- 8c 3m2+4 x1x2=m2y1y2 -mc(y1+y2)+c2 = 4c2-12m2c2 3m2+4

，①
由

k1

k2

=

y2(x1-2c)

y1(x1+2c)

，及y2=

3

4

(4c2-x2)=

3(2c-x)(2c+x)

4

，…（9分）
得

k12

k22

=

y22(x1-2c)2

y12(x2+2c)2

=

(2c-x1)(2c-x2)

(2c+x1)(2c+x2)

=

4c2-2c(x1+x2)+x1x2

4c2+2c(x1+x2)+x1x2

，
将①代入上式得

k12

k22

=

4c2+ 16c2 3m2+4 + 4c2-12m2c2 3m2+4

4c2- 16c2 3m2+4 + 4c2-12m2c2 3m2+4

=

36c2

4c2

=9，…（10分）
注意到y₁y₂0，得

k1

k2

=

y2(x1-2c)

y1(x2+2c)

＞0，…（11分）
所以k₁：k₂=3为所求．…（12分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．