Question

如图，椭圆

x2

a2

+

y2

b

=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF₁的中点，求证：∠ATM=∠AF₁T．

Answer 1

分析：（I）过点A、B的直线方程为

x

2

+y=1．

x2

a2

+

y2

b2

=1，因为(b2+

1

4

a2)x2-a2x2+a2-a2b2=0有惟一解，所以△=a²b²（a²+4b²-4）=0（ab≠0），故a²+4b²-4=0．由题意知a2=2，b2=

1

2

，故所求的椭圆方程为

x2

2

+2y2=1．
（II）由（I）得c=

6

2

，故F1(-

6

2

，0)，F2(

6

2

，0)，从而M(1+

6

4

，0)．

x2

2

+2y2=1，由y=-

1

2

x+1，解得x₁=x₂=1，所以T(1，

1

2

)．由此可推出∠ATM=∠AF₁T．

解答：解：（I）过点A、B的直线方程为

x

2

+y=1．

x2

a2

+

y2

b2

=1，
因为由题意得有惟一解，y=-

1

2

x+1
即(b2+

1

4

a2)x2-a2x2+a2-a2b2=0有惟一解，
所以△=a²b²（a²+4b²-4）=0（ab≠0），
故a²+4b²-4=0．
又因为e=

3

2

，即

a2-b2

a2

=

3

4

，
所以a²=4b²．
从而得a2=2，b2=

1

2

，
故所求的椭圆方程为

x2

2

+2y2=1．
（II）由（I）得c=

6

2

，
故F1(-

6

2

，0)，F2(

6

2

，0)，
从而M(1+

6

4

，0)．

x2

2

+2y2=1，
由y=-

1

2

x+1
解得x₁=x₂=1，
所以T(1，

1

2

)．
因为tan∠AF1T=

6

2

-1，
又tan∠TAM=

1

2

，tan∠TMF2=

2

6

，
得tan∠ATM=

2 6 - 1 2

1+ 1 6

=

6

2

-1，
因此∠ATM=∠AF₁T．

点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．