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    设 A（x1，y1）、B（x2，y2）是椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）上的两点，O为坐标原点，向量
    m
    =(
    x1
    a
    ，
    y1
    b
    )，
    n
    =(
    x2
    a
    ，
    y2
    b
    )    且
    m
    •
    n
    =0    ．
    （1）若A点坐标为（a，0），求点B的坐标；
    （2）设
    OM
    =cosθ•
    OA
    +sinθ•
    OB
    ，证明点M在椭圆上；
    （3）若点P、Q为椭圆 上的两点，且
    PQ
    ∥
    OB
    ，试问：线段PQ能否被直线OA平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由．
    分析：（1）将x1=a，y1=0代入（
    x1
    a
    ，
    y1
    b 
    ）•（
    x2
    a
    ，
    y2
    b 
    ）=0，得（1，0）•（
    x2
    a
    ，
    y2
    b 
    ）=0，由此能求出点B的坐标．
    （2）因（
    x1
    a
    ，
    y1
    b 
    ）•（
    x2
    a
    ，
    y2
    b 
    ）=0，所以
    x1x2
    a2
    +
    y1y2
    b2
    =0    ，又因A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆上，所以
    x12
    a2
    +
    y12
    b2
    =1    ，
    x22
    a2
    +
    y22
    b2
    =1
    OM
    =cosθ
    OA
    +sinθ
    OB
    =（x1cosθ+x2sinθ，y1cosθ+y2sinθ），由此能够证明所以点M在椭圆上．
    （3）设点P（m1，n1）Q（m2，n2），则
    PQ
    =(m2-m1，n2-n1)    ，且
    m
    2
    1
    a2
    +
    n
    2
    1
    b2
    =1    ，
    m
    2
    2
    a2
    +
    n
    2
    2
    b2
    =1    ，所以
    (m1-m2)(m1+m2)
    a2
    +
    (n1-n2)(n1+n2)
    b2
    =0    ，故
    PQ
    ⊥(
    m1+m2
    a2
    ，
    n1+n2
    b2
    )    ，由此能够导出线段PQ被直线OA平分．
    解答：解：（1）将x1=a，y1=0代入（
    x1
    a
    ，
    y1
    b 
    ）•（
    x2
    a
    ，
    y2
    b 
    ）=0，得（1，0）•（
    x2
    a
    ，
    y2
    b 
    ）=0，
    所以x2=0，y2=±b，即点B的坐标为（0，±b）．
    （2）因（
    x1
    a
    ，
    y1
    b 
    ）•（
    x2
    a
    ，
    y2
    b 
    ）=0，所以
    x1x2
    a2
    +
    y1y2
    b2
    =0    ，
    又因A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆上，所以
    x12
    a2
    +
    y12
    b2
    =1    ，
    x22
    a2
    +
    y22
    b2
    =1
    OM
    =cosθ
    OA
    +sinθ
    OB
    =（x1cosθ+x2sinθ，y1cosθ+y2sinθ）
    把M点坐标代入椭圆方程左边得：
    (x1cosθ+x2sinθ)2
    a2
    +
    (y1cosθ+sinθ)2
    b2
    =
    x12cos2θ+x22sin2θ
    a2
    +
    y12cos2θ+y22sin2θ
    b2
    +2sinθcosθ(
    x1x2
    a2
    +
    y2y2
    b2
    )    =cos2θ+sin2θ+2sinθcosθ×0=1所以点M在椭圆上．
    （3）设点P（m1，n1）Q（m2，n2），则
    PQ
    =(m2-m1，n2-n1)
    且
    m
    2
    1
    a2
    +
    n
    2
    1
    b2
    =1    ，
    m
    2
    2
    a2
    +
    n
    2
    2
    b2
    =1
    所以
    (m1-m2)(m1+m2)
    a2
    +
    (n1-n2)(n1+n2)
    b2
    =0    ，
    故有(m1-m2，n1-n2)•(
    m1+m2
    a2
    ，
    n1+n2
    b2
    )=0
    即
    PQ
    ⊥(
    m1+m2
    a2
    ，
    n1+n2
    b2
    )
    又
    PQ
    ∥
    OB
    ，而
    OB
    =(x2，y2)    ，得(x2，y2)•(
    m1+m2
    a2
    ，
    n1+n2
    b2
    )=0    （A）
    又由
    x1x2
    a2
    +
    y1y2
    b2
    =0    ，得(x2，y2)•(
    x1
    a2
    ，
    y1
    b2
    )=0    ，（B）
    所以由（A）（B）得(
    m1+m2
    a2
    ，
    n1+n2
    b2
    )=λ(
    x1
    a2
    ，
    y1
    b2
    )    ，
    即(
    m1+m2
    2
    ，
    n1+n2
    2
    )=
    λ
    2
    (x1，y1)
    故线段PQ被直线OA平分．
    点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A、B两点．
    （Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），求
    1
    y1
    +
    1
    y2
    的取值范围；
    （Ⅱ）是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF？证明你的结论．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=
    1
    2
    +log2
    x
    1-x
    的图象上两点，且
    OM
    =
    1
    2
    (
    OA
    +
    OB
    )    ，O为坐标原点，已知点M的横坐标为
    1
    2
    ．
    （Ⅰ）求证：点M的纵坐标为定值；
    （Ⅱ）定义定义Sn=
    n-1
    i=1
    f(
    i
    n
    )=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )    ，其中n∈N*且n≥2，求S2011；
    （Ⅲ）对于（Ⅱ）中的Sn，设an=
    1
    2Sn+1
    (n∈N*)    ．若对于任意n∈N*，不等式kan3-3an2+1＞0恒成立，试求实数k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1(a＞b＞0)    上的两点，已知O为坐标原点，椭圆的离心率e=
    		3
    2
    ，短轴长为2，且
    m
    =(
    x1
    b
    ，
    y1
    a
    )，
    n
    =(
    x2
    b
    ，
    y2
    a
    )    ，若
    m
    •
    n
    =0    ．
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求△AOB的面积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=
    1
    2
    +log2
    x
    1-x
    图象上任意两点，且
    OM
    =
    1
    2
    （
    OA
    +
    OB
    ），已知点M的横坐标为
    1
    2
    ，且有Sn=f（
    1
    n
    ）+f（
    2
    n
    ）+…+f（
    n-1
    n
    ），其中n∈N*且n≥2，
    （1）求点M的纵坐标值；
    （2）求s2，s3，s4及Sn；
    （3）已知an=
    1
    (Sn+1)(Sn+1+1)
    ，其中n∈N*，且Tn为数列{an}的前n项和，若Tn≤λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求λ的最小正整数值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是抛物线y=x2上的三个动点，其中x3＞x2≥0，△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形．
    （1）求证：直线BC的斜率等于x2+x3，也等于
    x2-x1x3-x2
    ；
    （2）求A、C两点之间距离的最小值．

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