Question

（2008•宝坻区一模）已知对任意实数x，有f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时（　　）

A．f'（x）＞0，g'（x）＞0

B．f'（x）＞0，g'（x）＜0

C．f'（x）＜0，g'（x）＞0

D．f'（x）＜0，g'（x）＜0

Answer 1

分析：由已知对任意实数x，有f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），知f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，又由当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，可得在区间（0，+∞）上f（x），g（x）均为增函数，然后结合奇函数、偶函数的性质不难得到答案．

解答：解：由f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），
知f（x）为偶函数，g（x）为奇函数．
又x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，
知在区间（0，+∞）上f（x），g（x）均为增函数
由奇、偶函数的性质知，
在区间（-∞，0）上f（x）为减函数，g（x）为增函数
则当x＜0时，f′（x）＜0，g′（x）＞0．
故选C．

点评：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，这是函数奇偶性与函数单调性综合问题的一个最关键的粘合点，故要熟练掌握．