Question

（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，,  点是的中点，，且交于点．

（Ⅰ）求证:平面；
（Ⅱ）求证：直线平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）

解析试题分析：法一：用几何关系证明和求值.（Ⅰ）连结交于，证即可；（Ⅱ）先证平面，再证平面即可；（Ⅲ）由三垂线定理先作出二面角的平面角，根据数据关系求之即可.
法二：建立空间直角坐标系，用空间向量证明求解.
试题解析：方法一：（Ⅰ）证明：连结交于，连结．               

是正方形，∴是的中点．
是的中点，∴是△的中位线．
∴．                   2分
又∵平面，平面，    
∴平面．           4分
（Ⅱ）证明：由条件有
∴平面，∴                       6分
又∵是的中点，∴  
∴平面 ∴ 
由已知，∴平面                     8分
（Ⅲ）由(Ⅱ)知面，则直线在面内的射影为，
∴为所求的直线与面所成的角．             10分
又，∴在中 ∴
又
由可得∴．∴
12分
∴直线与平面所成角的余弦值为．                           13分
考点：空间直线与平面平行、垂直的性质与判定.