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(本题分12分)

如图,斜率为1的直线过抛物线的焦点,与抛物线交于两点A、B, 将直线按向量平移得到直线,上的动点,为抛物线弧上的动点.

(Ⅰ) 若 ,求抛物线方程.

(Ⅱ)求的最大值.

(Ⅲ)求的最小值.

 

 

【答案】

(1).  (2) .

(3)当时, 的最小值为.

【解析】此题考查抛物线的定义,及向量坐标运算

(1)根据抛物线的定义得到|AB|=x1+x2+p=4p,再由已知条件,得到抛物线的方程;(2)设直线l的方程及N点坐标和A(x1,y1),B(x2,y2),利用向量坐标运算,求得

的以N点坐标表示的函数式,利用二次函数求最值的方法,可求得所求的最小值.

解:(1)由条件知,则,消去得:①,则,由抛物线定义

又因为,即,则抛物线方程为.-------------3分

 (2)由(1)知,设,则距离:

,因在直线的同侧,所以,

,即,

由①知

所以,则当时, ,

.----------------------8分

(3) 设,,

,

由①知,,,,则,即,当时, 的最小值为.

(其它方法酌情给分)-------- ------12分

 

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