Question

(本题分12分）

如图，在长方体中，

，为中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由.

（Ⅲ）若二面角的大小为，求的长.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；

（Ⅲ）

【解析】本题考查利用空间向量这一工具求二面角，证明线面平行及线线垂直，解题的关键是建立恰当的坐标系及空间位置关系与向量的对应，此类解题，方法简单思维量小，但计算量大，易因为计算错误导致解题失败，解题时要严谨，认真，利用空间向量求解立体几何题是近几年高考的热点，必考内容，学习时要好好把握

（Ⅰ）由题意及所给的图形，可以A为原点，AB,AD,AA₁

的方向为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，设AB=a，给出图形中各点的坐标，可求出向量 AD,B₁E的坐标，验证其数量积为0即可证出两线段垂直

（II）由题意，可先假设在棱AA₁上存在一点P（0，0，t），使得DP∥平面B₁AE，求出平面B₁AE法向量，可法向量与直线DP的方向向量内积为0，由此方程解出t的值，若能解出，则说明存在，若不存在符合条件的t的值，说明不存在这样的点P满足题意．

（III）由题设条件，可求面夹二面角的两个平面的法向量，利用两平面的夹角为30°建立关于a的方程，解出a的值即可得出AB的长

解：（Ⅰ）长方体中，

得：面

面-----------4分

（Ⅱ）取的中点为，中点为，连接

在中，面

 此时-----------------------8分

（Ⅲ）设，连接，过点作于点，连接

面，

得：是二面角的平面角

在中，

在矩形中，