Question

已知A、B、C、D是球面上四点，若AB=AC=

2

，BD=DC=CB=2，二面角A-BC-D的平面角等于150°，则该球的表面积为（　　）

• A．

  22π

  3

• B．

  28π

  3

• C．7π
• D．9π

Answer 1

分析：由题设知四面体ABCD中，AB=AC=

2

，BD=DC=CB=2，设等边△BDC的外接圆的圆心为E，BC中点为H，球心为O，设球半径为r，则由题设条件能够推导出r2=BE2+EO2=

4

3

+y2，且r2=

25

12

+(

1

2

-y)2，由此解得y=1，从而求出r，由此能够求出球的表面积．

解答：解：由题设知四面体ABCD中，AB=AC=

2

，BD=DC=CB=2，
如图，设等边△BDC的外接圆的圆心为E，BC中点为H，球心为O，设球半径为r，
则Rt△OEB中，∠OEB=90°，
∵BD=DC=CB=2，AB=AC=

2

，
∴∠AHE是二面角A-BC-D的平面角，故∠AHE=150°，
DE=

2

3

DH=

2

3

×

4-1

=

2 3

3

，HE=

1

3

DH=

3

3

，
∴r2=BE2+EO2=

4

3

+y2，…①
作AI⊥DH，交DH延长线与I，则AH=1，HE=

3

3

，OA=r，∠AHT=180°-∠AHE=30°，
∴AI=

1

2

，IE=IH+HE=

3

2

+

3

3

=

5 3

6

，
∴r2=

25

12

+(

1

2

-y)2，…②
由①②得y2+

4

3

=y2-y+

7

3

，解得y=1，
∴r=

4 3 +y2

=

21

3

，
∴球的表面积S=4π(

21

3

)2=

28π

3

．
故选B．

点评：本题考查球的表面积的求法，具体涉及到锥锥的结构特征、二面角的平面角、余弦定理、三角形性质、球的简单性质等知识点，解题时要认真审题，注意合理地化空间几何问题为平面几何问题．