Question

袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．
（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）用X表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和均值．

Answer 1

分析：（I）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从12个元素中任取3个，满足条件的事件是取出的3个小球上的数字互不相同，共有C₄³C₃¹C₃¹C₃¹种结果，根据概率公式得到结果．
（II）用X表示取出的3个小球上所标的最大数字，由题意X所有可能的取值为1，2，3，4．结合变量对应的事件写出变量的概率，写出分布列和期望．

解答：解：（I）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件数C₁₂³，
满足条件的事件是取出的3个小球上的数字互不相同，共有C₄³C₃¹C₃¹C₃¹
记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，
∴P(A)=

C 3 4 ? C 1 3 ? C 1 3 ? C 1 3

C 3 12

=

27

55

．
（II）由题意X所有可能的取值为：1，2，3，4．
P(X=1)=

1

C 3 12

=

1

220

；
P(X=2)=

C 2 3 ? C 1 3 + C 2 3 ? C 1 3 + C 3 3

C 3 12

=

19

220

；
P(X=3)=

C 2 6 ? C 1 3 + C 1 6 ? C 2 3 + C 3 3

C 3 12

=

64

220

=

16

55

；
P(X=4)=

C 2 9 ? C 1 3 + C 1 9 ? C 2 3 + C 3 3

C 3 12

=

136

220

=

34

55

．
∴随机变量X的分布列为
∴随机变量X的期望为
EX=1×

1

220

+2×

19

220

+3×

16

55

+4×

34

55

=

155

44

．

点评：本题考查古典概型，考查离散型随机变量的分布列，考查解决实际问题的能力，是一个综合题，注意解题的格式，遇到这种问题一定要得全分．