Question

袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等．用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；
（3）计分介于20分到40分之间的概率．

Answer 1

分析：（1）根据“正难则反”的原则，记出事件：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，看出两个事件之间的互斥关系，得到结果．
（2）得到随机变量ξ有可能的取值，计算出各值对应的概率，列表写出分布列，代入公式得到数学期望．
（3）记出事件“一次取球所得计分介于（20分）到4（0分）之间”的事件记为C，看出事件所包含的几种情况，根据上面的分布列求和即可．

解答：解：（I）解：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是互斥事件，因为P(B)=

C 1 5 • C 2 2 • C 1 8

C 3 10

=

1

3

所以P(A)=1-P(B)=1-

1

3

=

2

3

．
（II）由题意ξ有可能的取值为：2，3，4，5.P(ξ=2)=

C 2 2 • C 1 2 + C 1 2 • C 2 2

C 3 10

=

1

30

；P(ξ=3)=

C 2 4 • C 1 2 + C 1 4 • C 2 2

C 3 10

=

2

15

；P(ξ=4)=

C 2 6 • C 1 2 + C 1 6 • C 2 2

C 3 10

=

3

10

；P(ξ=5)=

C 2 8 • C 1 2 + C 1 8 • C 2 2

C 3 10

=

8

15

；
所以随机变量ε的概率分布为

ε	2	3	4	5
P	1 30	2 15	3 10	8 15

因此ε的数学期望为Eε=2×

1

30

+3×

2

15

+4×

3

10

+5×

8

15

=

13

3

（Ⅲ）“一次取球所得计分介于（20分）到4（0分）之间”的事件记为C，则
P（C）=P（ε=3）+P（ε=4）=

2

15

+

3

10

=

13

30

点评：本题第一问也可用下列解法：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)=

C 3 5 • C 1 2 • C 1 2 • C 1 2

C 3 10

=

2

3

．