Question

2．已知等差数列{a_n}满足a₂=0，a₆+a₈=10．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由于a₂=0，a₆+a₈=10．利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₂=0，a₆+a₈=10．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=0}\\{2{a}_{1}+12d=10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-1}\\{d=1}\end{array}\right.$，
∴a_n-1+（n-1）=n-2．
（2）$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$．
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}的前n项和S_n=-1+0+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$-\frac{1}{2}$+0+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-3}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n-2}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=-1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n-2}{{2}^{n}}$=-2+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n-2}{{2}^{n}}$=$-\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴S_n=$-\frac{n}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．