Question

12．关于x的方程lg（tx）=2lg（x+2）有且仅有一个实数解，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 化简可得$\left\{\begin{array}{l}{tx＞0}\\{x+2＞0}\\{tx=（x+2）^{2}}\end{array}\right.$，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞-2}\\{{x}^{2}+（4-t）x+4=0}\end{array}\right.$有且只有一个实数解，分类讨论方程的解的情况即可．

解答 解：∵lg（tx）=2lg（x+2），
∴lg（tx）=lg（x+2）²，
∴$\left\{\begin{array}{l}{tx＞0}\\{x+2＞0}\\{tx=（x+2）^{2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞-2}\\{{x}^{2}+（4-t）x+4=0}\end{array}\right.$有且只有一个实数解，
①若方程只有一个实数根，则
$\left\{\begin{array}{l}{△=（4-t）^{2}-16=0}\\{-\frac{4-t}{2}＞-2}\end{array}\right.$，解得，t=8；
②若方程有两个实数根，结合①知，
一个大于-2，另一个小于-2；
故f（-2）＜0，
解得，t＜0；
综上所述，t=8或t＜0．

点评 本题考查了方程的化简与运算，同时考查了分类讨论的数学思想应用．