Question

4．设全集U=R，集合A={x|（x+6）（3-x）≤0}，B={x|log₂（x+2）＜4}．
（Ⅰ）求A∩（∁_UB）；
（Ⅱ）已知C={x|2a＜x＜a+1}，若B∩C=C，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）解二次不等式，求出A，解对数不等式求出B，进而可求A∩（∁_UB）；
（Ⅱ）由C={x|2a＜x＜a+1}，B∩C=C，分C=∅和C≠∅两种情况，讨论满足条件的a的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵集合A={x|（x+6）（3-x）≤0}={x|x≤-6，或x≥3}，
B={x|log₂（x+2）＜4}={x|-2＜x＜14}．
∴∁_UB={x|x≤-2，或x≥14}，
∴A∩（∁_UB）={x|x≤-6，或x≥14}，
（Ⅱ）∵C={x|2a＜x＜a+1}，B∩C=C，
当2a≥a+1，即a≥1时，C=∅，满足条件，
当2a＜a+1，即a＜1时，若B∩C=C，则C⊆B，
则-2≤2a＜a+1≤14，
解得：-1≤a＜1，
综上所述，a≥-1．

点评 本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题．