Question

20．已知f（x）=cosωx•sinωx+$\sqrt{3}$cos²ωx-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（0＜ω≤1），且满足f（x+π）=f（x）
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]时，y=f（x）的取值范围；
（Ⅲ）若3[f（x）]²+m•f（x）-1=g（x），求g（x）在x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先，根据二倍角公式，化简函数解析式即可；
（Ⅱ）可以根据（1），结合三角函数的单调性求解其范围即可；
（Ⅲ）首先，确定函数g（x）的解析式，然后，确定其最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=cosωx•sinωx+$\sqrt{3}$cos²ωx-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}cos2ωx+\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），
∵f（x+π）=f（x），
∴T=π，
∴$\frac{2π}{2ω}$=π，
∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（Ⅱ）∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]，
∴2x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴y=f（x）的取值范围：[-$\frac{1}{2}$，1]．
（Ⅲ）设t=sin（2x+$\frac{π}{3}$），根据（Ⅱ）得
t∈[-$\frac{1}{2}$，1]．
∴g（x）=3t²+mt-1
=3（t+$\frac{m}{6}$）²-1-$\frac{{m}^{2}}{12}$
当-$\frac{m}{6}$＜-$\frac{1}{2}$时，即m＞3，
（g（x））_min=g（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$-$\frac{m}{2}$，
当-$\frac{1}{2}$≤-$\frac{m}{6}$≤1时，即-6≤m≤3，
（g（x））_min=-1-$\frac{{m}^{2}}{12}$
当-$\frac{m}{6}$＞1时，即m＜-6，
（g（x））_min=g（1）=2+m．

点评 本题重点考查了二倍角公式、三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，属于中档题．